GAUSS (C. F.)

GAUSS (C. F.)

L’œuvre du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (né à Brunswick, mort à Göttingen) est un monument d’une ampleur et d’une richesse sans égale: non seulement il y a Gauss mathématicien, mais il y a aussi le calculateur, le géodésien, l’astronome, et il ne faut pas oublier qu’il a pratiquement consacré les vingt dernières années de sa vie à l’étude du magnétisme.

Du vivant de Gauss déjà, son génie inspirait à ses contemporains une vénération un peu craintive, et nul n’aurait osé lui contester le titre de princeps mathematicorum dont on le désignait communément. Il faut préciser que non seulement les découvertes de Gauss le mettent hors de pair, mais que leur position dans l’histoire des mathématiques est absolument unique. On peut dire sans exagération qu’il a, à lui seul, incarné toute la mathématique pendant un tiers de siècle, car, de tout ce qui s’est publié de 1797 à 1827 environ, il est peu de travaux qui ne lui soient dus ou qu’il n’ait anticipés et parfois (comme par exemple dans ses théorèmes sur la fonction modulaire) c’est presque de trois quarts de siècle qu’il a devancé son temps. Placé comme à point nommé à la jonction de deux grandes époques de la science, Gauss nous apparaît comme le flambeau qui a montré la route à de nombreuses générations de mathématiciens et illuminé l’avenir comme nul autre ne l’a fait.

1. Le calcul sur les objets abstraits

Le point de vue de Gauss sur les objets «mathématiques» est déjà identique au nôtre: «Le mathématicien, dit-il, fait complètement abstraction de la nature des objets et de la signification de leurs relations; il n’a qu’à énumérer les relations et les comparer entre elles» (Werke , t. II, p. 176). Dans ses travaux d’arithmétique supérieure, Gauss met plusieurs fois ce précepte en pratique: il introduit en effet une idée qui nous est maintenant familière, mais qui, à l’époque, était particulièrement hardie, celle de loi de composition entre objets qu’il n’est plus guère possible de considérer comme des «nombres» (au contraire de ce qu’on avait fait jusqu’alors pour les «nombres négatifs» ou les «nombres imaginaires»). C’est ainsi que, s’il se conforme à l’usage établi en ce qui concerne le calcul des congruences modulo un entier donné n , il n’en est pas moins conscient du fait qu’il s’agit en réalité d’un calcul sur les classes d’entiers ne différant que par des multiples de n , bien plutôt que d’un calcul sur les entiers eux-mêmes (Disquisitiones arithmeticae , art. 26 et 31). Dans la théorie de la composition des classes de formes quadratiques, qui lui est entièrement due, il est beaucoup plus net encore; Lagrange avait défini une relation d’équivalence entre formes quadratiques binaires à coefficients entiers, deux formes étant équivalentes s’il est possible de transformer l’une en l’autre par une transformation unimodulaire à coefficients entiers; il avait aussi démontré l’identité:

cela conduisait à dire que la forme (aa , b , e ) est la «composée» de (a , b , a e ) et de (a , b , ae ). Gauss montra que si C, C sont deux classes de formes quadratiques de même déterminant, il y a toujours une forme du type (a , b , a e ) dans C et une forme du type (a , b , ae ) dans C pour des nombres a , a , b , e convenables, et en outre que, de quelque manière que l’on choisisse ces nombres répondant à ces conditions, les formes (aa , b , e ) sont toutes équivalentes; la classe de ces dernières est ce que Gauss appelle la composée CC de C et de C .

Dans l’un comme dans l’autre cas, les lois de composition envisagées par Gauss sont ce que nous appelons maintenant des lois de groupe commutatif (ou abélien ), et les résultats de Gauss (bien que non exprimés sous la forme abstraite moderne) sont conçus et démontrés de manière si générale qu’on peut à bon droit les considérer comme établissant les fondements de la théorie des groupes commutatifs finis. Il met particulièrement en relief la notion de groupe cyclique et de générateurs d’un tel groupe, qu’Euler avait déjà rencontrée en montrant en substance que les classes modulo n des nombres premiers à n forment un groupe cyclique pour n premier; complétant les résultats d’Euler, Gauss détermine la structure de ce groupe pour n quelconque, obtenant déjà sur cet exemple la structure générale d’un groupe commutatif fini comme produit direct de groupes cycliques. Bien qu’il ne l’ait pas exprimée de façon tout à fait explicite, il est vraisemblable qu’il était arrivé à la même conclusion pour le groupe des classes de formes quadratiques de déterminant donné et, en tout cas, il est aisé de déduire le théorème général des méthodes qu’il développe à ce propos (Disq. arith. , art. 306 et suiv.).

Il est évident que deux groupes cycliques de même ordre sont isomorphes et, bien entendu, cette observation ne pouvait échapper à Gauss; ce qui est beaucoup plus remarquable, c’est la façon extrêmement pénétrante dont il use de ce fait dans ses célèbres travaux sur les racines de l’unité. Ayant démontré que, pour n premier, l’équation de degré n 漣 1:

donnant les racines n -ièmes de l’unité 1, est irréductible, il utilise l’isomorphie du groupe additif des entiers modulo n 漣 1 et du groupe multiplicatif des classes modulo n pour écrire les racines de l’unité 1 sous la forme:

(0 諒 k 諒 n 漣 2 ), où g est une « racine primitive » de la congruence:

à toute décomposition de n 漣 1 en produit ef de deux facteurs, il fait alors correspondre les e «périodes»:

(0 諒 塚 諒 e 漣 1), dont il prouve, à l’aide d’une «résolvante de Lagrange», qu’elles appartiennent au corps engendré, sur le corps des racines e -ièmes de l’unité, par une racine d’une équation binôme:

où b est dans le corps des racines e -ièmes de l’unité. Cela lui donnait, d’une part, la possibilité d’exprimer «par radicaux» toutes les racines de l’unité, et, de l’autre, le fameux théorème sur la construction «par la règle et le compas» du polygone régulier de dix-sept côtés, sa première découverte publiée (à l’âge de dix-huit ans). Cette pénétrante analyse suit de si près celle qui découle naturellement de la théorie de Galois que l’on peut penser que Gauss avait déjà quelque idée de cette théorie, tout au moins pour les équations à groupe commutatif (dites «abéliennes»); et de fait nous savons qu’il avait appliqué les mêmes méthodes à l’équation de la division de la lemniscate (cf. chap. 4).

Il y a bien d’autres exemples de la hardiesse de Gauss à ouvrir de nouvelles voies par l’introduction d’objets mathématiques insoupçonnés de ses devanciers, et dont son instinct infaillible lui faisait pressentir toute la richesse. C’est ainsi que, dans un fragment destiné aux Disquisitiones , mais finalement non publié de son vivant, il avait reconnu la possibilité de définir des «racines imaginaires» des congruences modulo un nombre premier, et obtenu l’essentiel de la théorie des corps finis que retrouvera Galois trente ans plus tard. Surtout, c’est Gauss qui donne l’impulsion à toute la grande théorie des nombres algébriques , par son étude systématique de l’arithmétique des «entiers de Gauss» a + bi (a , b entiers rationnels); nous savons d’ailleurs qu’il avait ébauché des tentatives analogues pour d’autres corps de nombres algébriques, notamment certains corps cyclotomiques, mais il s’y était heurté à l’obstacle majeur qui ne fut surmonté que par Kummer, l’impossibilité de calquer directement la théorie des éléments «premiers» de ces corps sur celle des nombres premiers usuels.

2. La rigueur

Non seulement Gauss nous apparaît tout proche de la pensée moderne par son sens profond des «structures» cachées sous les phénomènes mathématiques et de leur caractère général, mais c’est lui aussi qui le premier insiste avec vigueur sur la nécessité de démonstrations absolument rigoureuses, sans recours à de plus ou moins fallacieuses «intuitions» (exigence d’ailleurs tout à fait naturelle dès que précisément les notions de base deviennent plus abstraites). Beaucoup de ses efforts les plus acharnés visent à fournir des démonstrations irréprochables pour des théorèmes énoncés par ses prédécesseurs mais ne s’appuyant que sur des raisonnements vagues ou incomplets: deux exemples célèbres sont le théorème fondamental de l’algèbre, qu’avaient cherché à démontrer entre autres d’Alembert, Euler et Lagrange, et la loi de réciprocité quadratique de Legendre, dont ce dernier n’était jamais parvenu à donner une preuve complète. Mais c’est surtout en analyse que le besoin d’une réforme se faisait sentir. Sous l’influence des Bernoulli et d’Euler, les mathématiciens du XVIII^e siècle avaient totalement négligé d’asseoir sur des bases solides leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n’hésitaient pas à calculer sur des séries divergentes, ils obtenaient d’ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument pas être comprises à cette époque), et cela ne laissait pas de les encourager à persévérer dans leurs erreurs. Ici encore, Gauss est le précurseur du retour à la rigueur, qui se manifestera dans toute sa force chez ses successeurs immédiats, notamment Cauchy et Abel; ainsi, ayant rencontré au cours de ses recherches la série hypergéométrique:

il obtient de façon précise les conditions à imposer à 見, 廓, 塚 et x pour que cette série converge, et c’est seulement ensuite qu’il examine les propriétés de la fonction représentée par cette série (au contraire de la façon dont auraient sûrement procédé tous ses prédécesseurs); les critères de convergence qu’il applique à cette occasion sont encore parmi les plus utiles à l’heure actuelle.

3. La notion d’espace

Gauss n’est pas moins novateur en géométrie que dans les autres branches des mathématiques. Ses réflexions sur les fondements de la géométrie, et notamment sur les tentatives variées pour démontrer le postulat d’Euclide sur les parallèles, débutent dès sa vingtième année; elles devaient se poursuivre durant une longue période, mais nous savons par sa correspondance que, dès 1816 (soit quinze ans avant Lobatschevski), il était parvenu à la conviction que ce postulat était indémontrable , et qu’il y avait donc place, à côté de la géométrie euclidienne classique, pour une autre géométrie où il existerait plusieurs parallèles à une droite passant par un même point. On sait que c’est là un tournant capital de l’histoire des mathématiques, marquant le premier pas dans la nouvelle conception du lien entre le monde réel et les notions mathématiques supposées en rendre compte; avec la découverte de Gauss, le point de vue un peu naïf suivant lequel les objets mathématiques n’étaient que les «Idées» (au sens platonicien) des objets sensibles devenait insoutenable et allait peu à peu faire place à une plus nette compréhension de la complexité beaucoup plus grande de la question, où il nous semble aujourd’hui que mathématique et réalité sont presque complètement indépendantes, et leurs contacts plus mystérieux que jamais. Gauss lui-même, comme ses successeurs immédiats, croyait encore, à ce qu’il semble, que l’expérience pourrait décider du genre de «géométrie» qui correspond au monde réel (croyance fallacieuse comme devait le démontrer plus tard Poincaré); il faut en tout cas souligner à quel point il avait su se libérer de l’«apriorisme» kantien qui régnait alors sans partage; certains propos que l’on rapporte de lui indiquent en outre qu’il s’était tout aussi bien affranchi de la prétendue nécessité de l’espace à trois dimensions, qu’il considérait à juste titre comme une infirmité de l’esprit humain.

Ses idées sur ce point ne paraissent pas s’être exprimées dans son œuvre mathématique; mais il ne fait pas de doute pourtant que sa découverte de la géométrie non euclidienne a retenti sur son célèbre mémoire sur la théorie des surfaces, où l’on trouve exprimée pour la première fois la conception profonde de la géométrie intrinsèque d’une surface, indépendante de son prolongement dans l’espace ambiant. Il est probable, en outre, que les réflexions auxquelles devaient le conduire ses travaux de géodésie ont aussi contribué à former cette conception; il est frappant en tout cas de constater que la question qui est au centre de ses préoccupations est l’expression de la somme des angles du triangle formé par trois géodésiques; et c’est vraisemblablement en rapprochant, d’une part, le théorème connu pour les triangles sphériques, suivant lequel la différence A + B + C 漣 神 pour un triangle sphérique ABC sur la sphère de rayon 1 est mesurée par l’aire du triangle, et d’autre part le fait que dans la géométrie non euclidienne cette différence (qui est alors négative) est liée à une constante absolue de la géométrie, qu’il parvint enfin au célèbre théorème exprimant en général cette différence, pour un triangle géodésique infiniment petit , par la courbure totale de la surface. De ce résultat central découlait aussitôt le fait que la courbure totale ne dépend que du ds ² de la surface (fait que Gauss démontre par un calcul direct); en outre, dans des notes non publiées, il avait aussi introduit la notion de courbure géodésique qui permet d’évaluer la différence A + B + C 漣 神 pour un triangle quelconque non nécessairement géodésique, formule dite «de Gauss-Bonnet». On sait que ce sont ces conceptions qui (du vivant encore de Gauss) devaient fournir à Riemann le point de départ pour sa théorie générale de la géométrie différentielle dans les variétés n -dimensionnelles, dont l’importance n’a fait que croître depuis un siècle.

4. L’unité des mathématiques

Gauss nous est aussi particulièrement proche par le sentiment profond de l’unité des mathématiques qui se dégage de son œuvre. Assurément, on trouve bien avant Gauss des manifestations fort nettes de l’idée que la classification des sciences mathématiques suivant leur objet apparent est un point de vue superficiel, la plus évidente de ces manifestations étant la création de la géométrie analytique; mais cette tendance unitaire trouve chez Gauss de nouvelles expressions tout à fait originales. Son esprit universel ne pouvait aborder une théorie sans qu’il n’y découvrît des liens (parfois fort cachés) avec des parties toutes différentes des mathématiques; ce qui est particulièrement frappant quand on le voit par exemple tirer de son intarissable imagination quatre démonstrations du théorème fondamental de l’algèbre et jusqu’à sept de la loi de réciprocité, s’appuyant toutes sur des principes différents.

Une des idées les plus fécondes dans ce domaine est la représentation géométrique des imaginaires, à laquelle Gauss était parvenu (indépendamment de Wessel et Argand) dès sa dix-neuvième année. Il est caractéristique de son tempérament qu’il n’y ait pas un mot de cette représentation dans sa thèse (consacrée à sa première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre), mais pour nous il est clair qu’elle s’y inscrit comme en filigrane, toute la méthode se fondant sur des considérations de topologie du plan. C’est seulement en 1831 qu’il se hasarda pour la première fois à donner explicitement une définition des nombres complexes par cette méthode; cependant, dans ses papiers non publiés de son vivant, on constate que, dès le début du siècle, il maniait ces idées avec tant d’aisance qu’il pouvait inversement tirer du calcul sur les nombres complexes des démonstrations de géométrie; il avait ainsi reconnu, en particulier, le lien (redécouvert plus tard par Klein) entre les rotations de sphère et les transformations homographiques:

du plan de la variable complexe. De plus, une lettre célèbre, adressée à Bessel et datée de 1811, nous montre qu’il était déjà familier avec le comportement des fonctions analytiques d’une variable complexe, notamment autour d’un point où s’échangent les déterminations de la fonction, et qu’il avait aussi envisagé les intégrales:

le long d’un contour fermé 臨, et savait qu’une telle intégrale est nulle lorsque la fonction est régulière. Mais il ne poussa pas plus avant cette voie, où Cauchy devait s’illustrer quelques années plus tard.

Plus étonnante encore est la série de recherches (restées non publiées de son vivant) avec lesquelles Gauss, dès les premières années du siècle, s’inscrit comme le précurseur d’une large part de la théorie des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, une des œuvres maîtresses du XIX^e siècle. Il s’agit peut-être là de la partie la plus profonde de toute l’œuvre de Gauss et, en raison de son caractère technique, il est difficile d’en donner ici plus qu’un aperçu fugitif. Dès l’âge de quatorze ans, Gauss avait réinventé la moyenne arithmético-géométrique M(a , b ) de deux nombres positifs, limite commune des deux suites définies par:

et, quelques années plus tard, il avait aussi retrouvé l’expression de M(a , b ) par une intégrale elliptique:

(déjà connue de Lagrange). Mais, dès avant 1800, Gauss dépasse de loin tous ses devanciers en introduisant la série:

(retrouvée par Jacobi en 1827) et en exprimant M(a , b ) par un quotient de deux séries reliées à la série , dont il obtient aussi des expressions en produits infinis; puis, d’abord pour l’intégrale elliptique particulière:

et, peu après, pour l’intégrale elliptique générale, il a l’idée de considérer x comme fonction de 﨏, découvre la double périodicité de ces fonctions, leur expression à l’aide de fonctions thêta et les principales propriétés de la fonction modulaire, notamment son invariance par le groupe des transformations:

(a , b , c , d entiers, ad 漣 bc = 1). Du point de vue qui nous occupe ici, il faut particulièrement mettre en relief deux points.

1. Comme, à l’époque même où Gauss introduisait le «sinus lemniscatique» x = sin lemn 﨏, qui donne «l’inversion» de:

il étudiait aussi, ainsi que nous l’avons vu, les équations de la division du cercle, il avait aussitôt par analogie considéré le problème de la détermination de x connaissant le nombre y = sin lemn (n 﨏). Si 諸 et 諸 sont les deux périodes de sin lemn, il est clair que, pour toute solution x = sin lemn ( 﨏), on aura aussi les solutions où 﨏 est remplacé par (k 諸 + k 諸 )/n (où k et k sont des entiers), d’où n ² solutions , alors que l’équation analogue de la division du cercle n’a que n solutions. C’est précisément en formant l’équation algébrique qui donne x en fonction de y (à l’aide des formules d’addition des intégrales elliptiques, connues d’Euler et de Lagrange) et en s’apercevant que cette équation était de degré n ² que Gauss fut mis sur la voie de la découverte de la double périodicité des fonctions elliptiques.

2. La théorie des «périodes» de l’équation de la division du cercle (pour n premier impair) conduisit Gauss à considérer en particulier, pour une racine primitive de l’unité 﨣, la «somme de Gauss»:

(qui correspond au double d’une «période» pour e = 2); la même théorie montre aisément que l’on a:

mais, lorsque l’on prend:

il reste à voir quel signe doit prendre le radical qui exprime 精. Gauss avoue avoir passé plusieurs années sur ce problème; la solution qu’il en donne se rattache de façon remarquable à ses recherches sur les séries thêta. Il part en effet de l’identité (provenant de cette théorie):

où:

(qui est un polynôme pour m et 猪 entiers). D’autre part, on a:

d’où:

Gauss remplace alors 﨣 par 﨣^-2 (qui est aussi une racine primitive de l’unité), multiplie les deux membres par 﨣 ⁽ⁿ size=1^{漣 1)2/4} et finalement obtient la relation:

d’où il tire sans peine la détermination du signe cherché.

Si on ajoute qu’il tire de son calcul de 精 une de ses démonstrations de la loi de réciprocité, on voit qu’on aurait peine à trouver dans toute l’histoire des mathématiques un exemple où se combinent plus brillamment une extraordinaire virtuosité de calcul et une vue pénétrante des rapports les plus cachés.

5. Gauss physicien

Le nom de Gauss apparaît enfin dans plusieurs domaines de l’histoire de la physique de la première moitié du XIX^e siècle et il est resté attaché à une unité électromagnétique. Ses fonctions de directeur de l’observatoire de Göttingen, dans l’atmosphère d’une université où l’on sut pratiquer les relations interdisciplinaires, expliquent certainement en grande partie pourquoi le mathématicien prestigieux fut amené à s’intéresser à toute une série de problèmes qui n’appartenaient pas à son champ de prédilection. Il le fit cependant en mathématicien, c’est-à-dire que sa contribution au progrès de la physique est plutôt le résultat d’une application pénétrante de l’analyse mathématique à la théorie physique qu’une participation personnelle à la recherche expérimentale.

Les planètes nouvelles et les astéroïdes

Cette nuance du jugement est bien manifeste dès le début. C’est par une coïncidence heureuse que Gauss se trouva être en possession d’une méthode mathématique adéquate au moment même où les astronomes allemands étaient affrontés à un problème difficile, à savoir comment retrouver dans le ciel un astre de huitième grandeur qui avait été observé par Piazzi à Palerme en janvier 1801, et qui semblait pouvoir correspondre à la lacune de la loi du Titius-Bode entre Mars et Jupiter, mais que le passage en conjonction avec le Soleil avait fait perdre. La découverte de cet astre exigeait la détermination de l’orbite à partir du nombre limité d’observations dont on disposait.

C’est cette détermination que Gauss rendit possible rapidement en appliquant sa méthode des moindres carrés pour les calculs d’approximation. Et la petite planète Cérès ne tarda pas à retomber dans le champ des instruments, bientôt suivie en 1802, 1804 et 1807, par d’autres «astéroïdes» du même type.

Nommé en 1807 directeur de l’observatoire de Göttingen, Gauss acheva la mise au point de la méthode qui venait de permettre d’aussi importantes découvertes et publia en 1809 le remarquable traité Theoria motus corporum caelestium où il précisait les conditions d’application.

Théorie des systèmes centrés

C’est après 1830 que d’autres interventions de Gauss dans des domaines physiques ont laissé des traces durables. Depuis le milieu du XVII^e siècle, la construction des instruments d’optique par combinaisons de lentilles n’avait cessé de se perfectionner; cependant les formules de ces combinaisons demeuraient complexes, faute d’un point de vue mathématique permettant d’en dominer la signification.

Ce point de vue est apporté par Gauss dans ses Dioptrische Untersuchungen (1838-1841) qui introduisent les notions classiques de plans principaux et de points principaux, et constituent la charte de la théorie des systèmes centrés. La considération abstraite des correspondances entre point objet et point image fournit ainsi un outil qui facilita considérablement non seulement l’étude des instruments, mais aussi celle de l’œil.

Mécanique

Gauss intervient dans la mécanique théorique au moment même où la notion de travail prend corps en France pour une meilleure formalisation des principes. Mais sa préoccupation va dans un autre sens. S’il lui paraît incontestable qu’aucun principe nouveau sur la science de l’équilibre et du mouvement ne peut exister qui ne soit inclus dans le principe des travaux virtuels et dans celui de d’Alembert, il lui paraît utile de rechercher si l’on ne pourrait pas les remplacer par un principe équivalent et donnant lieu à un énoncé plus précis.

Cet énoncé est celui du principe de la moindre contrainte , que Gauss publie en 1829 dans un mémoire intitulé Über ein neues Grundgesetz der Mechanik (Journal de Grelle , IV): Le mouvement d’un système de points matériels, liés entre eux d’une façon quelconque et dont les mouvements sont soumis à des limitations extérieures arbitraires, a lieu à chaque instant dans l’accord le plus complet avec le mouvement libre ou sous la contrainte la plus faible possible, la mesure de la contrainte supportée par le système dans chaque intervalle élémentaire de temps étant la somme des produits de la masse de chaque point par le carré de son écart avec le mouvement libre.

La déduction de cet énoncé à partir des principes antérieurs est le résultat d’un calcul plus simple qu’on ne pourrait le supposer, le travail virtuel, pour un déplacement compatible avec les liaisons à partir de la position à l’instant t , apparaissant comme la différence des contraintes entre la position considérée et la position infiniment voisine. Gauss souligne combien il est remarquable de constater l’accord de la nature et des mathématiques. De même que les géomètres, par la méthode des moindres carrés, modifient les résultats des expériences pour les rendre compatibles avec une relation nécessaire entre les grandeurs mesurées, de même la nature modifie les mouvements libres, lorsqu’ils sont incompatibles avec les liaisons imposées, de manière à rendre minimale une somme de quantités proportionnelles aux carrés des écarts.

Peut-être n’est-il pas si merveilleux que la nature, ou plus précisément la mécanique théorique, interrogée par le mathématicien Gauss, réponde dans un sens si conforme à ses vues; mais, à tout prendre et dans la mesure même où il faut reconnaître avec Gauss que les principes formalisés ne sont pas intuitifs, le principe de la moindre contrainte a certainement l’avantage de précision qu’il recherchait. Sans doute ce principe n’a-t-il pas, en définitive, été retenu au niveau que Gauss prévoyait, mais son énoncé a été utile.

Gauss a eu plus de succès durable avec la théorie du potentiel, dont il a fixé en 1839 la formulation demeurée classique. Mais cette contribution à la mécanique appartient déjà à un autre domaine, celui de l’électricité et du magnétisme.

Électricité et magnétisme

L’intérêt porté par Gauss au magnétisme, qui se manifeste en 1833 par un mémoire intitulé Intensitas vis magneticae terrestris , s’inscrit dans le souci de donner une définition rationnelle de la masse et de savoir s’il y a lieu de distinguer plusieurs types de masses. À partir de 1834, les recherches de Gauss dans ce genre de questions sont inséparables de la collaboration avec Wilhelm Eduard Weber. On peut situer quelques points où l’intervention de Gauss est caractéristique: étude des coefficients de torsion, de l’influence du frottement dans les mouvements vibratoires; questions majeures pour les dispositifs expérimentaux destinés à permettre sur les systèmes oscillants d’atteindre la traduction dynamique des phénomènes électromagnétiques.

Mais là où l’influence de Gauss sur Weber est la plus sensible, c’est à propos d’un choix raisonné d’un système d’unités. Le rôle du mathématicien, particulièrement attentif au problème de l’homogénéité des formules, a été à cet égard bienfaisant. Si le système d’unités absolues proposé par Gauss et Weber (1 mm, 1 mg, 1 s) n’a finalement pas été retenu au Congrès international des électriciens de 1881, si le nom de Gauss n’a été donné que postérieurement à l’unité d’induction magnétique, il reste que la physique du siècle dernier doit effectivement beaucoup au grand mathématicien allemand.

Encyclopédie Universelle. 2012.